Ramanujan et le nombre 163 NOMBRE 163 et les presque-entiers

NOMBRE 163 et les presque-entiers Certains nombres présentent la particularité de s'approcher très près d'un nombre entier. Sur cette page nous développons ceux qui sont de la famille de 163. Ce sont des nombres qui apparaissent en utilisant les fonctions modulaires. À leur sujet, plusieurs questions se posent: * Existe-t-il une logique qui explique cette proximité? La théorie des nombres sait-elle expliquer ces propriétés? * Comment les a-t-on découverts? Justement du fait d'une propriété, ou par exploration, ou par pur hasard? * Quel est le procédé de calcul utilisé, du moins, du temps où les ordinateurs n'existaient pas? Presque-entiers avec leur logarithme * Le nombre 163 / ln 163 est pratiquement un nombre entier. Voici les suivants encore plus proches d'un entier. Exploration jusqu'à un million. ln est le logarithme naturel ou népérien Voir Presque-entiers en sommes Nombres presque-entiers de Ramanujan Constante de Ramanujan Anglais: Ramanujan's constant = 0,262… 1018 = 262 537 412 640 768 743, 999 999 999 999 2500 725971981856888793538563373... = = e 40,109 169 991… = 2,718281828… 40,109 169 991… = 640 3203 + 744 – 0,999 999 999 999 2500 N - = 0,7499274… 10-12 Distance à l'entier le plus proche. Approximation avec 14 décimales La première racine de cette équation serait la constante de Ramanujan (Wolfram), or je trouve: -18,68 …. que la puissance soit 8 ou 24 ou que le 24 soit dans l'équation ou dans la solution. Clé du mystère ? Puissances (k) et décroissance de la persistance des presque-entiers Presque entier, surprenant! Car e comme Pi sont des nombres transcendants. Leurs chiffres ne se répètent jamais, ne présentent pas de motifs particuliers; il sont aléatoires. Pourtant, le fait que ce nombre soit proche d'un entier n'est pas fortuit. Il est lui-même transcendant. Piste? 163 = – (1 – 4 x 41) Et on trouve 41 dans la célébres suite de nombres premiers donnée par Euler: x² – x + 41 >>> Effectivement les nombres de Heegner intervinnent dans la caractérisation des nombres premiers. Presque des entiers! Sur le modèle de Ramanujan Exploration de N = jusqu'à n = 1000 Présentation avec 50 chiffres * Il est remarquable de trouver ces valeurs entières à mieux que 1/1000è près. Coïncidence? Non! Hermite puis Heegner donnent des explications. Elles mettent en jeu des principes avancés de la théorie des nombres: théorie modulaire (propriétés modulaires avec un polynôme de degré 48), les fonctions j de Jacobi ou un monstre mathématique tel que: et, il est bien connu qu'en théorie des fonctions modulaires, la fonction j de tau est invariante dans le groupe des transformations unimodulaire … et … est un nombre entier. Or -1/q est la constante de Ramanujan. Comme q est petit, 1/q est proche d'un entier. Cette formule permet également d'expliquer pourquoi les puissances sont de moins en moins proches d'un entier. Le groupe monstre n'est pas loin de toutes ces théories … Nombres de Heegner –1, –2, –3, –7, –11, –19, –43, –67, et –163 * Nombres de Heegner, 163 étant le plus grand. dits: discriminants de la classe 1 des champs de nombres quadratique imaginaires. * Les non-discriminants de la classe 1: -12, -16, -27, -28. Nombres de Heegner – Théorie avancée des nombres * Les nombres de Heegner sont neuf seulement. * Ils correspondent aux discriminants: -4, -8, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163 (prouvé). * Ils ont une grande importante dans la théorie des nombres, nombres premiers notamment. * Leur détermination fait partie des problèmes des nombres de Gauss. * Ils correspondent à une factorisation unique de l'anneau des entiers. Définition Nombre de Heegner: entier sans facteur carré n positif tel que l'anneau des entiers du corps quadratique imaginaire est principal (ou encore : factoriel, ce qui ici est équivalent car l'anneau est de Dedekind). Le théorème de Stark-Heegner indique qu'il y a exactement neuf nombres de Heegner: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 et 163. Voir sites Heegner number de Mathworld / Heegner Number de Wikipedia Approximation pour les quatre plus grands nombres de Heegner Autres curiosités Approximation de Pi avec 30 à 75 chiffres En prenant E = 0, Pi est donné avec 30 décimales. En tenant compte de l'écart E (connu), il est possible de poursuivre les calculs et d'obtenir une approximation de Pi avec 75 décimales: Calcul Il est probable que la détection des nombres en exposant, tel que 163, résulte de réflexions sur les fonctions modulaires, elles-mêmes suscitées par la résolution de certaines équations du cinquième degré (voir Hermite). Cependant, les premiers mathématiciens à les avoir découverts donne leur valeur précise. En 1859, Hermite cite la valeur du nombre en racine de 43 et précise que celui en racine de 169 possède douze 9. Quels sont leurs méthodes de calcul? Aujourd'hui Les logiciels de calcul donnent la précision que vous voulez. Les calculs présentés sur cette page ont été réalisés avec Maple. La calculatrice de votre ordinateur devrait également faire l'affaire. Hier, sans les calculateurs? Le calcul devait être très long avec risques d'erreurs et, surtout, comment choisir la quantité de décimales pour être sûr d'atteindre le résultat souhaité? Ce tableau montre que: * en-dessous de 20 décimales, le nombre semble classique, * jusqu'à 35 décimales, on pourrait penser qu'il s'agit d'un nombre entier; et * c'est seulement à partir de 35 décimales que le nombre se dévoile comme un presque-entier. Calcul de la racine Il existe des méthodes pour calculer les racines: la méthode de Héron ou la méthode que l'on apprenait autrefois et qui ressemble à une division posée. Voir le site Racine carrée à la main de Thérèse Eveilleau Valeur de Pi Dans les années 1800, la valeur de Pi est connue avec 200 décimales et plus. Surprise le produit est proche de 40. Alors, existe—t-il une astuce pour en calculer facilement l'exponentielle? Exponentielle Feynman est connu pour son astuce de calcul des exponentielles (de tête!), mais pas possible pour de telle taille. Passage par les logarithmes et les tables de logarithmes. La quantité de décimales ne dépassait pas 27 (à ma connaissance). Bilan Avant les ordinateurs, le calcul direct de me semble problématique. Sans doute Hermite fut mis sur la piste par d'autres détours mathématiques. Quant à Ramanujan, sa vision géniale des nombres semble inexpliquée et inexplicable … Historique * En 1748, Euler disait que, pour d >0 et non carré, n'est pas un nombre rationnel. On se souvient de sa célèbre formule: . * En 2000, Hilbert montre qu'il n'est pas algébrique. * En 1929, Gelfond donne la série interpolant. En 1934, il démontre que ab est transcendant. On retrouve notre nombre avec . * Charles Hermite (1822-1901), mathématicien français, est le premier à identifier ce genre de presque-premiers. Il calcule (1859) la valeur de ces exponentielles. Voici un extrait de son livre: "Sur la théorie des équations modulaires: et la résolution de l'équation du cinquième degré" – page 48. * Le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan (1888-1920) cite un certain nombre de nombres presque-entiers comme , mais pas celui en 163. Il travaillait sur les approximations de Pi à l'aide des fonctions modulaires et des discriminants des formes quadratiques. * En 1975, Martin Gardner publie un poisson d'avril dans le Scientific American. Il y prétend que est un entier et Ramanujan l'a conjecturé. Ce nombre est vite devenu la constante de Ramanujan, même si Gardner a démenti quelques mois plus tard. * Aitken un mathématicien prodige remarqua que la différence entre ce nombre et un entier est inférieure à 10-12 En fait: écart = 0,75 10-12 * Kurt Heegner (1893-1965), mathématicien allemand, résout (1952) le problème du nombre de classes pour les corps quadratiques modulaires. Ses résultats seront admis et complétés par Harold Stark (1969) >>>

Formul BBP

Formule BBP Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les références utiles à sa vérifiabilité et en les liant à la section « Notes et références » (modifier l'article, comment ajouter mes sources ?). La formule BBP (ou formule de Bailey-Borwein-Plouffe) permet de calculer le n-ième chiffre après la virgule de π en base 2 (ou 16) sans avoir à en calculer les précédents, et en utilisant très peu de mémoire et de temps. Elle a été obtenue le 19 septembre 1995 par Simon Plouffe en collaboration avec David H. Bailey et Peter Borwein. Sommaire [afficher] La formule[modifier | modifier le code] \pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k}\left(\frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6}\right) Exploitation de la formule pour calculer les chiffres après la virgule de π[modifier | modifier le code] Le but est de calculer le N-ième chiffre après la virgule de π en base 16. Déjà, on remarque que le (N+1)-ième chiffre après la virgule de π en base 16 est le même que le 1er chiffre après la virgule de 16Nπ. En effet, comme en base dix, multiplier un nombre en base 16 par 16 permet de décaler la virgule d'un rang vers la droite. En multipliant un nombre par 16N, la virgule est donc décalée de N rang vers la droite. Ainsi, il suffit de calculer le premier chiffre de 16Nπ, égal par la formule BBP à: 16^{N}\pi = \sum_{k=0}^\infty 16^{N-k}\left(\frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6}\right) Mais calculer les premiers chiffres derrière la virgule de ce nombre n'est pas si simple, pour deux raisons : D'abord, ce nombre étant très grand, cela demande d'effectuer des calculs sur des nombres très grands ; Ensuite, parce que cette somme est infinie. Posons S_N(a)=\sum_{k=0}^\infty \frac{16^{N-k}}{8k+a}. Le calcul des premiers chiffres de SN(a) permettra d'obtenir ceux de 16Nπ, par la relation : 16^{N}\pi = 4\ S_N(1) - 2 S_N(4) - S_N(5) - S_N(6) Découpons la somme SN(a) en deux : S_N(a)=\sum_{k=0}^\infty \frac{16^{N-k}}{8k+a}=\sum_{k=0}^{N-1} \frac{16^{N-k}}{8k+a}+\sum_{k=N}^ \infty \frac{16^{N-k}}{8k+a} = A_N(a) + B_N(a) et calculons AN(a) et BN(a) indépendamment. Calcul de BN(a)[modifier | modifier le code] B_N(a)=\sum_{k=N}^ \infty \frac{16^{N-k}}{8k+a} Bien que ce soit une somme infinie, ce terme est très simple à calculer, car on remarque que ses termes deviennent vite très petits et on ne cherche que les premiers chiffres. En effet, le premier terme de la somme est : b_N=\frac{1}{8N+a}. Comme on cherche le N-ième chiffre derrière la virgule de π (N = 1 000 000 000 par exemple), le premier terme bN est très inférieur à 1. De plus, chaque terme suivant a un zéro de plus derrière la virgule que le précédent, car pour k ≥ N, bk > 16 bk+1 : \frac{b_k}{b_{k+1}}=\frac{16^{N-k}}{16^{N-(k+1)}}\frac{8(k+1)+a}{8k+a}=16\left( 1+\frac{8}{8k+a}\right) \longrightarrow 16^{+}. Finalement, la somme BN(a) est de la forme (au pire) : Donc pour obtenir BN(a) avec une précision de P chiffres derrière la virgule, il suffit de calculer les P premiers termes de la somme, plus les quelques suivants pour éviter les problèmes de retenues qui peuvent éventuellement apparaître. Il suffit donc de calculer : B_N'(a)=\sum_{k=N}^{N+P+10} \frac{16^{N-k}}{8k+a} Cette somme n'étant composée que d'un petit nombre de termes (de nombre constant), son temps de calcul est négligeable pour un ordinateur. Calcul de AN(a)[modifier | modifier le code] A_N(a)=\sum_{k=0}^{N-1} \frac{16^{N-k}}{8k+a} Le problème pour calculer AN(a) est que les premiers termes sont extrêmement grands (N chiffres en base 16 devant la virgule !). Néanmoins, comme on ne cherche que les premiers chiffres derrière la virgule, peu importe la partie entière, aussi grande qu'elle soit. On peut donc s'en « débarrasser » en utilisant l'arithmétique modulaire. Toute la difficulté se réduit donc à trouver la partie fractionnelle de \frac{16^{N-k}}{8k+a}. Pour cela, on effectue la division euclidienne de 16N-k par 8k+a : \exists q\in \mathbb{Z}, \exists r < 8k+a,\ 16^{N-k}=q(8k+a)+r Donc \frac{16^{N-k}}{8k+a}=q+\frac{r}{8k+a} \frac{r}{8k+a} est inférieur à 1, donc c'est la partie fractionnelle de \frac{16^{N-k}}{8k+a}. Et \frac{r}{8k+a}=\frac{16^{N-k}[8k+a]}{8k+a} Il suffit donc de calculer : A_N'(a)=\sum_{k=0}^{N-1} \frac{16^{N-k}[8k+a]}{8k+a}. En utilisant la méthode d'exponentiation rapide, 16N-k[8k+a] se calcule rapidement (temps d'exécution en O(log2(N-k)). Conclusion[modifier | modifier le code] Finalement, pour obtenir les premiers chiffres de π en base 16 (ou 2), il faut calculer les premiers chiffres de : \pi_N=4\ S_N'(1)-2\ S_N'(4)-S_N'(5)-S_N'(6) avec S_N'(a)=\sum_{k=0}^{N-1} \frac{16^{N-k}[8k+a]}{8k+a}+\sum_{k=N}^{N+P+10} \frac{16^{N-k}}{8k+a}. Complexité de cette méthode[modifier | modifier le code] Pour calculer le n-ième chiffre après la virgule de π en base 16 (et donc le 4n-ième chiffre en base 2) : Complexité temporelle[modifier | modifier le code] Bn'(a) se calcule en temps constant (O(1)). La complexité du calcul de Sn' est donc la même que la complexité du calcul de An'(a). An'(a) : en utilisant la méthode d'exponentiation rapide, ses termes se calculent en O(log2(n)) multiplications sur des entiers de taille log2(n). En notant M(k) la complexité de la multiplication de deux entiers de taille k, la complexité est donc O(log(n)M(log(n))). Finalement, la somme des n termes, An'(a), se calcule en temps O(n log(n)M(log(n))). Même en utilisant l'algorithme de multiplication naïf, on obtient une complexité quasi-linéaire de O(n log(n)3). Complexité spatiale[modifier | modifier le code] Le calcul de Bn'(a) s'effectue en espace constant (somme d'un nombre fixé de termes, avec une nombre fixé de chiffres significatifs). Le calcul de An'(a) nécessite d'effectuer des calculs modulo 8k+a, c'est-à-dire de manipuler des nombres de taille log(k) avec k ≤ N. À chaque étape de l'algorithme, on manipule un nombre constant de tels nombres : la complexité en espace du calcul de An'(a) est donc O(log(n)). L'algorithme total utilise donc un espace logarithmique. Formules dérivées[modifier | modifier le code] Simon Plouffe[modifier | modifier le code] Formule originale : \pi\ =\ \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{16^i}\left(\frac{4}{8i+1}-\frac{2}{8i+4}-\frac{1}{8i+5}-\frac{1}{8i+6}\right) \forall r \in \mathbb{C}\ \ \ \ \pi\ =\ \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{16^i}\left(\frac{4+8r}{8i+1}-\frac{8r}{8i+2}-\frac{4r}{8i+3}-\frac{2+8r}{8i+4}-\frac{1+2r}{8i+5}-\frac{1+2r}{8i+6}+\frac{r}{8i+7}\right) \pi\sqrt{2}\ =\ \sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{8^i}\left(\frac{4}{6i+1}+\frac{1}{6i+2}+\frac{1}{6i+3}\right) \pi^2\ =\ \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{16^i}\left(\frac{16}{(8i+1)^2}-\frac{16}{(8i+2)^2}-\frac{8}{(8i+3)^2}-\frac{16}{(8i+4)^2}-\frac{4}{(8i+5)^2}-\frac{4}{(8i+6)^2}-\frac{2}{(8i+7))^2}\right) \pi^2\ =\ \frac{9}{8}\ \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{64^i}\left(\frac{16}{(6i+1)^2}-\frac{24}{(6i+2)^2}-\frac{8}{(6i+3)^2}-\frac{6}{(6i+4)^2}-\frac{1}{(6i+5)^2}\right) \pi^2\ =\ \frac{2}{27}\ \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{729^i}\left(\frac{243}{(12i+1)^2}-\frac{405}{(12i+2)^2}-\frac{81}{(12i+4)^2}-\frac{27}{(12i+5)^2}-\frac{72}{(12i+6)^2}-\frac{9}{(12i+7)^2}-\frac{9}{(12i+8)^2}-\frac{5}{(12i+10)^2}+\frac{1}{(12i+11)^2}\right) Viktor Adamchick et Stan Wagon (1997)[modifier | modifier le code] \pi\ =\ \sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{4^{i}}\left(\frac{2}{4i+1}+\frac{2}{4i+2}+\frac{1}{4i+3}\right) Fabrice Bellard[modifier | modifier le code] \pi\ =\ \frac{1}{64}\ \sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{2^{10i}}\left(-\frac{32}{4i+1}-\frac{1}{4i+3}+\frac{256}{10i+1}-\frac{64}{10i+3}-\frac{4}{10i+5}-\frac{4}{10i+7}+\frac{1}{10i+9}\right) Géry Huvent (2001)[modifier | modifier le code] \pi^3\ =\ \frac{1}{16}\ \sum_{i=0}^\infty\frac{(-1)^i}{2^{10i}}\left(\frac{32}{(4i+1)^3}+\frac{8}{(4i+2)^3}+\frac{1}{(4i+3)^3}\right) \ +\ \frac{5}{2}\ \sum_{i=0}^\infty\frac{(-1)^i}{2^{6i}}\left(\frac{32}{(12i+1)^3}-\frac{192}{(12i+2)^3}+\frac{88}{(12i+3)^3}-\frac{8}{(12i+5)^3}+\frac{84}{(12i+6)^3}-\frac{4}{(12i+7)^3}+\frac{11}{(12i+9)^3}-\frac{12}{(12i+10)^3}+\frac{1}{(12i+11)^3}\right) \pi^4\ =\ \frac{27}{164}\ \sum_{i=0}^\infty\frac{1}{2^{12i}}(\frac{2048}{(24i+1)^4}-\frac{38912}{(24i+2)^4}+\frac{81920}{(24i+3)^4}-\frac{2048}{(24i+4)^4}-\frac{512}{(24i+5)^4}-\frac{23552}{(24i+6)^4}+\frac{256}{(24i+7)^4}-\frac{27648}{(24i+8)^4}-\frac{10240}{(24i+9)^4} -\frac{2432}{(24i+10)^4}-\frac{64}{(24i+11)^4}-\frac{3584}{(24i+12)^4}-\frac{32}{(24i+13)^4}-\frac{608}{(24i+14)^4}-\frac{1280}{(24i+15)^4}-\frac{1728}{(24i+16)^4}+\frac{8}{(24i+17)^4}-\frac{368}{(24i+18)^4}-\frac{4}{(24i+19)^4} -\frac{8}{(24i+20)^4}+\frac{160}{(24i+21)^4}-\frac{38}{(24i+22)^4}+\frac{1}{(24i+23)^4}) Les records[modifier | modifier le code] Pour comparaison, le record actuel de calcul de toutes les décimales de π est de 1 241 milliards de décimales (soit environ 4 123 milliard de chiffres binaires). 7 octobre 1996 (Fabrice Bellard) : 400 milliardième chiffre en base 2 septembre 1997 (Fabrice Bellard) : 1 000 milliardième chiffre en base 2 février 1999 (Colin Percival) : 40 000 milliardième chiffre en base 2 2001 : 4 000 000 milliardième chiffre en base 2 31 décembre 2009 (Fabrice Bellard) : 2 700 milliards de décimales Et pour le calcul des décimales ?[modifier | modifier le code] Actuellement, aucune formule réellement efficace n'a été découverte pour calculer le n-ième chiffre de π en base 10. Simon Plouffe a mis au point en décembre 1996, à partir d'une très ancienne série de calcul de π basée sur les coefficients du binôme de Newton, une méthode pour calculer les chiffres en base 10, mais sa complexité en O(n3 × log2(n)) la rendait en pratique inutilisable. Fabrice Bellard a bien amélioré l'algorithme pour atteindre une complexité en O(n2), mais cela n'est pas suffisant pour concurrencer les méthodes classiques de calcul de toutes les décimales. Annexe : démonstration de la formule BBP[modifier | modifier le code] Notons S_n=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k(8k+n)} et démontrons la formule de Plouffe généralisée : (0)\quad \forall r \in \mathbb{C}\qquad\pi\ =\ (4+8r)S_1-8rS_2 -4rS_3 -(2+8r)S_4-(1+2r)S_5-(1+2r)S_6+rS_7 (le cas r=0 est sa formule originale ; le cas r=-1/4 est, sous une forme plus détaillée, celle d'Adamchick et Wagon). Posons : \alpha=1-i=\sqrt 2\mathrm e^{-\mathrm i\pi/4} et calculons de deux façons l'intégrale suivante : I=\int_0^1\frac{\mathrm dy}{\alpha-y}. Elle est d'une part reliée aux S_n par \begin{align}I&=\frac 1\alpha\int_0^1\frac{\mathrm dy}{1-y/\alpha}= \frac1\alpha\int_0^1\sum_{m=0}^\infty\frac{y^m}{\alpha^m}\mathrm dy=\sum_{m=0}^\infty\frac{\mathrm e^{\mathrm i(m+1)\pi/4}}{(m+1)\sqrt 2^{m+1}}\\&= \frac{1+\mathrm i}2S_1+\frac {\mathrm i}2S_2+\frac{-1+\mathrm i}4S_3-\frac14S_4-\frac{1+\mathrm i}8S_5-\frac {\mathrm i}8S_6+\frac{1-\mathrm i}{16}S_7+\frac1{16}S_8,\end{align} et d'autre part calculable par des méthodes élémentaires (en calculant séparément sa partie réelle et sa partie imaginaire), ou de façon plus synthétique via le logarithme complexe : \begin{align}I&=-\left[\ln(\alpha-y)\right]_0^1=\ln\left(\frac\alpha{\alpha-1}\right)=\ln(1+\mathrm i)=\ln(\sqrt 2\mathrm e^{\mathrm i\pi/4})=\frac{\ln 2}2+\mathrm i\frac\pi4.\end{align} L'égalité entre ces deux expressions de I équivaut à : (1)\qquad\pi=4\mathrm{Im}(I)=2S_1+2S_2+S_3-\frac 12S_5-\frac 12S_6-\frac 14S_7, (2)\qquad\ln 2=2\mathrm{Re}(I)= S_1-\frac 12S_3-\frac 12S_4-\frac 14S_5+\frac 18S_7+\frac 18S_8. Mais \ln 2 s'exprime par ailleurs plus directement en fonction des S_n : \begin{align}(3)\quad\ln 2&=[-\ln(2-y^2)]_0^1= \int_0^1\frac{y}{1-y^2/2}\mathrm dy=\sum_{k\ge 0}\frac 1{(2k+2)2^k}\\&=S_2+\frac 1 2 S_4+\frac 1 4 S_6+\frac 1 8 S_8.\end{align} (2) et (3) donnent donc, par soustraction des membres de droite, une relation entre les S_n : (4)\qquad 0=2S_1-2S_2-S_3-2S_4-\frac 1 2 S_5-\frac 1 2 S_6+\frac 1 4 S_7. En multipliant le membre de droite de (4) par 1+4r et en ajoutant ce produit au membre de droite de (1), on obtient l'égalité (0) annoncée.

Biographie

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Jules Shungu Wembadio Pene Kikumba, dit Papa Wemba, né le 14 juin 1949 à Lubefu au Congo belge (actuellement dans le Kasaï-Oriental en République démocratique du Congo) et mort le 24 avril 2016 à Abidjan, est un chanteur, auteur-compositeur et acteur cong... William SHAKESPEARE écrivain, Poète, Artiste. William Shakespeare est né à Stratford-sur-Avon, en avril 1564 (il fut baptisé le 26 et l'on a coutume de célébrer l'anniversaire de sa naissance le 23, fête de saint Georges) ; il est mort le 23 avril 1616. Sa mère descend d'une vieille famille de propri... Camille LACOURT Sportif, Nageur. Camille Lacourt (né le 22 avril 1985 à Narbonne) est un nageur français spécialiste des épreuves de dos (50 et 100 m). Parmi les meilleurs dossistes français de la fin des années 2000, il remporte plusieurs titres de champion de France et établit de pr... LENINE Homme d'état, Homme politique, Révolutionnaire, Communiste. 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Xavier briffault et Stéphane Ducasse

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Classification des algorithmes de tri

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